Low-Degree Approximation of Random Polynomials

We prove that with “high probability” a random Kostlan polynomial in n+1 many variables and of degree d can be approximated by a polynomial of “low degree” without changing the topology of its zero set on the sphere Sn. The dependence between the “low degree” of the approximation and the “high probability” is quantitative: for example, with overwhelming probability, the zero set of a Kostlan polynomial of degree d is isotopic to the zero set of a polynomial of degree O(dlogd−−−−−√). The proof is based on a probabilistic study of the size of C1-stable neighborhoods of Kostlan polynomials. As a corollary, we prove that certain topological types (e.g., curves with deep nests of ovals or hypersurfaces with rich topology) have exponentially small probability of appearing as zero sets of random Kostlan polynomials

On the Computation of the Topology of a Non-Reduced Implicit Space Curve

An algorithm is presented for the computation of the topology of a non-reduced space curve defined as the intersection of two implicit algebraic surfaces. It computes a Piecewise Linear Structure (PLS) isotopic to the original space curve. The algorithm is designed to provide the exact result for all inputs. It's a symbolic-numeric algorithm based on subresultant computation. Simple algebraic criteria are given to certify the output of the algorithm. The algorithm uses only one projection of the non-reduced space curve augmented with adjacency information around some "particular points" of the space curve. The algorithm is implemented with the Mathemagix Computer Algebra System (CAS) using the SYNAPS library as a backend

On the computation of the topology of plane curves

International audienceLet P be a square free bivariate polynomial of degree at most d and with integer coefficients of bit size at most t. We give a deterministic algorithm for the computation of the topology of the real algebraic curve definit by P, i.e. a straight-line planar graph isotopic to the curve. Our main result is an algorithm for the computation of the local topology in a neighbourhood of each of the singular and critical points of the projection wrt the X axis in $\tilde{O} (d^6 t)$ bit operations where $\tilde{O}$ means that we ignore logarithmic factors in $d$ and $t$. Combined to state of the art sub-algorithms used for computing a Cylindrical Algebraic Decomposition, this result avoids a generic shear and gives a deterministic algorithm for the computation of the topology of the curve in $\tilde{O} (d^6 t + d^7)$ bit operations

On the isotopic meshing of an algebraic implicit surface

International audienceWe present a new and complete algorithm for computing the topology of an algebraic surface given by a squarefree polynomial in Q[X, Y, Z]. Our algorithm involves only subresultant computations and entirely relies on rational manipulation, which makes it direct to implement. We extend the work in [15], on the topology of non-reduced algebraic space curves, and apply it to the polar curve or apparent contour of the surface S. We exploit simple algebraic criterion to certify the pseudo-genericity and genericity position of the surface. This gives us rational parametrizations of the components of the polar curve, which are used to lift the topology of the projection of the polar curve. We deduce the connection of the two-dimensional components above the cell defined by the projection of the polar curve. A complexity analysis of the algorithm is provided leading to a bound in OB (d15 τ ) for the complexity of the computation of the topology of an implicit algebraic surface defined by integer coefficients polynomial of degree d and coefficients size τ . Examples illustrate the implementation in Mathemagix of this first complete code for certified topology of algebraic surfaces

Analyse de la Structure Morphologique des Cernes de Croissance et Détermination Des Âges de Deux Espèces Sahéliennes : Acacia Tortilis (Forsk.) Hayne Ssp. Raddiana (Savi) Brenan, Acacia Senegal (L.)Willd

La connaissance de la dendrochronologie des espèces sahéliennes est très limitée. Néanmoins, elle peut constituer une voie pour mieux améliorer la connaissance de la dynamique de croissances des espèces en zone sèche africaine. Cette étude vise à mieux connaitre la structure anatomique des cernes de croissances d’espèces sahéliennes comme moyen de datation et d’estimation de l’âge des arbres et arbustes. Elle a été réalisée dans la zone du Ferlo situé au Nord du Sénégal sur 14 et 12 rondelles de bois de Acacia tortilis (Forsk.) Hayne ssp. raddiana (Savi) Brenan, et de Acacia senegal (L.)Willd. Des méthodes d’identification et de datation des cernes ont été utilisées en vue d’étudier leur structure morpho-anatomiques des cernes et de déterminer l’âge des individus. Les cernes ont été identifiés et des photos à très haute résolution (1200 dpi) ont été prises à l'aide d'une loupe binoculaire Leica (M80) équipée d’une caméra digitale. Les photos prises ont été assemblées avec le logiciel Adobe Photoshop. Les résultats ont montré que les deux espèces présentent des cernes de croissances distinctes marquées par des cellules de parenchymes. Des corrélations statistiquement significatives comprises entre 0,33 à 0,82 ont ainsi été calculées entre les rayons d’un même individu. Les âges estimés chez les Acacia raddiana sont compris entre 10 à 27 ans alors que les Acacia senegal paraissent plus âgés entre 13 à 35 ans. La lecture des cernes plus ou moins difficile chez les Acacias est liée à la structure anatomique du bois dont les limites entre les cernes sont souvent cachées par des groupes de parenchymes. Cette étude contribue à mettre en place des stratégies et des méthodes permettant de maitriser la dynamique de croissance de ces espèces afin de les valoriser. Knowledge of the dendrochonology of Sahelian species is very limited. However, dendrochronology may be a way of furthering the knowledge of the growth dynamics the African dry area species. The purpose of the study was to better understand the anatomical structure of the tress rings of the Sahelian species in order to determine the age and estimation of trees and shrubs. It was conducted out in the Ferlo, an area located in the north of Senegal, and focused on 14 and 12 wood slices of Acacia tortilis (Forsk.) Hayne ssp. raddiana (Savi) Brenan and from Acacia senegal (L.) Willd respectively. Identification and dating methods were used to study the morpho-anatomical structure of the ring and determine the age of individuals. The rings were identified and very high-resolution (1200 dpi) pictures taken with a Leica (M80) binocular magnifier equipped with a digital camera. Then the pictures were assembled with the Adobe Photoshop software.The results showed that both species had distinct growth rings with parenchymal cells. Significant correlations between 0.33 and 0.82 was then calculated between the radii of the same individual. Estimated ages of the Acacia raddiana ranged from 10 to 27 years, whereas the Acacia senegal seemed older white 13 to 35 years of age. The difficulty to read the rings of the Acacias is related to the anatomical structure of the wood because boundaries between dark circles are often hidden by parenchyma clusters. The study helps put in place strategies and methods which enable to control the growth dynamics of the species in order to valorize them. &nbsp

Dynamique à court terme de la masse sur pied et de la digestibilité de fourrages herbacés sous pâture ou mis en défens dans le Sahel sénégalais

L’effet de la pâture sur l’évolution de la masse herbacée et sa digestibilité au cours de l’année a été étudié à Dahra, dans le Sahel sénégalais. Dans cette zone d’élevage la strate herbacée, base de l’alimentation du bétail, a une croissance brève pendant la saison des pluies. L’étude a été conduite pendant la saison des pluies et la saison sèche sur deux années consécutives, de juillet 2018 à juin 2020. Les mesures de phytomasse et de qualité fourragère (digestibilité in vitro de la matière organique, DMO) ont démarré dix jours après la première pluie et ont été répétées avec une fréquence de dix jours en saison des pluies et trente en saison sèche. La dynamique des herbacées annuelles se fait en trois étapes : une première de faible croissance, une deuxième de croissance rapide et une troisième de sénescence. La quantité maximale de masse sur pied sous pâture était de 1 992 ± 755 kg MS.ha-1 en 2018 et de 1 801 ± 601 kg MS.ha-1 en 2019 alors que, dans la mise en défens, elle était de 2022 ± 375 kg MS.ha-1 en 2018 et de 2357 ± 664 kg MS.ha-1 en 2019. La DMO a fortement décru au cours de la saison de végétation : de 70 % en début de saison des pluies, elle était en moyenne de 52 % en pleine saison des pluies et 30 % en saison sèche. La matière organique du fourrage a été plus digestible sous pâture que sous mise en défens. La pâture n’a pas systématiquement diminué la masse sur pied disponible de façon significative, mais en revanche elle en a amélioré la digestibilité

Calcul effectif de la topologie de courbes et surfaces algébriques réelles

In this thesis, we got interested into the Effective Computation of the Topology of Real Algebraic Curves and Surfaces. One can distinguish three main new algorithms in the field of shape representation. Our first algorithm is a certified symbolic-numerical based on sub-resultants properties and computes the topology of a plane algebraic curve with the best known complexity. The second algorithms computes the topology of a space curve defined as the intersection of two implicit algebraic surfaces. For the designing of this algorithm, we introduce the notion of space curve in pseudo-generic position with respect to a given plane. This approach leads to a certified symbolic-numerical algorithm with the best known complexity. The third algorithms is a new and complete one for computing the isotopic meshing of an implicit algebraic surface. It involves only subresultant computations and entirely relies on rational manipulation, which makes it direct to implement. Finally, we also design an algorithm for computing the cells in an arrangement of quadrics which may be classify on the area of configuration spaces computation.Ce travail relève du registre de l'algorithmique de courbes et surfaces algébriques réelles. Dans le domaine de la représentation de formes, nous avons développé trois algorithmes. Le premier est un algorithme symbolique-numérique certifié, fortement basé sur les propriétés des polynômes sous-résultants, et permettant le calcul de la topologie d'une courbe algébrique plane avec la meilleur complexité connue. Le deuxième algorithme traite le problème du calcul de la topologie d'une courbe algébrique spatiale définie comme intersection de deux surfaces implicites. Pour construire cet algorithme, nous introduisons la notion de courbe spatiale en position pseudo-générique par rapport à un plan. Cette approche conduit à un algorithme symbolique- numérique certifié disposant de la meilleur complexité connue. Le troisième est un algorithme de maillages de surfaces implicites. C'est le premier algorithme certifié et implémenté qui traite le problème du maillage isotopique de surfaces implicites singulières. Enfin dans un travail sur les arrangements de quadriques nous fournissons un algorithme permettant de calculer un tel arrangement

Quantitative Result on the Deviation of a Real Algebraic Curve from Its Vertical Tangents

International audienc